Im letzten Video haben wir uns mit der asymptotischen Stabilität von Ruhelagen

in dynamischen Systemen beschäftigt, die durch allgemeine Differentialgleichungssysteme

charakterisiert wurden. Und da war das entscheidende Kriterium, dass wir uns eine Linearisierung in der

Ruhelage angeschaut haben, für die wir dann die Eigenwerte untersucht haben und wir konnten zeigen,

dass ein hinreichendes Kriterium für asymptotische Stabilität der Ruhelage ist, dass die Eigenwerte

alle echt negativ sind, dieser Matrix, die die Linearisierung, also die Jacobi-Matrix,

in der Ruhelage darstellt. Wo wir haben jetzt bisher nie darüber gesprochen, wann ein dynamisches

System Lyapunov-stabil ist, also weder instabil noch asymptotisch stabil, sondern genau der

Zwischenfall. Und es stellt sich heraus, dass hierfür Resultate deutlich komplizierter sind und man

viel mehr Fallunterscheidungen machen muss. Und darum werden wir uns in diesem Video nun mit der

Lyapunov-Stabilität von Ruhelagen beschäftigen, sozusagen als Abschluss dieses Kapitels zur

Stabilitätsanalyse von dynamischen Systemen. Wir werden das Hauptresultat, das Theorien,

das wir gleich formulieren, nur für den linearen Fall, also für ein lineares dynamisches System

formulieren und abschließend ein paar Bemerkungen und ein Beispiel zum Thema nicht-lineare

Differential-Gleichungssysteme machen. Das hoffentlich zeigt, dass die Situation durchaus

komplizierter ist und man wesentlich mehr arbeiten muss, um Stabilitätsaussagen treffen zu können.

Gut, fangen wir an mit dem Hauptresultat im linearen Fall. Also wir haben folgendes Theorien,

ähnlich wie die Kapitelüberschrift Lyapunov-Stabilität von Ruhelagen.

Wir hatten bisher immer angenommen, dass die Eigenwerte echt kleiner null sein müssen und wir

werden jetzt sehen, dass wir auch den Fall betrachten können, dass einer der Eigenwerte

ein Realteil hat, der gleich null ist. Und für den müssen wir dann noch zusätzliche Forderungen

stellen, damit wir überhaupt Lyapunov-stabil sind. Also fangen wir mal an. Wir formulieren erst mal

das lineare Differential-Gleichungsproblem. Das heißt, wir haben eine Koeffizientmatrix A,

die sei n Kreuz n. Eine Matrix mit den Eigenwerten, die nennen wir Lambda 1 bis n.

Lambda 1 bis Lambda n, die dürfen explizit komplexwertig sein. Da müssen wir dann nachher

ein bisschen eine Fallunterscheidung machen. Also das sind die Eigenwerte von A.

Jetzt ist die Aussage, besitzen diese Eigenwerte einen nicht positiven Realteil, das heißt,

sie sind kleiner gleich null. Und für den Fall, dass sie gleich null sind, müssen wir fordern,

dass die geometrische Vielfachheit gleich der algebraischen Vielfachheit ist. Sie erinnern

sich hoffentlich noch im letzten Semester, was die Definitionen waren. Das war einmal die Vielfachheit

der Nullstelle im charakteristischen Polynom und das andere, die geometrische Vielfachheit,

bei der Dimension im Eigenraum. Die müssen übereinstimmen, dann können wir sagen, ist die

Null im Phasenraum, also der Ursprung, eine Lyapunov-stabile Ruhe-Lage des dynamischen

Systems. Also wir müssen zwei Sachen fordern. Das schreiben wir mal auf. Besitzen die Eigenwerte

einen nicht positiven Realteil. Vielleicht den rot schon mal hervorheben, denn sobald wir

was Positives haben, wissen wir, wir sind instabil. Und zwar fordern wir, dass der Realteil aller

lambda i diesmal nicht kleiner null ist, sondern kleiner gleich null. Das ist hier der Unterschied.

Und ist im Fall bei echter Gleichheit, sprich, wenn der Realteil von lambda i gleich null ist,

die geometrische Vielfachheit, Vielfachheit, das war, ich schreibe es noch mal kurz dahinter,

Dimension des Eigenraums, gleich der algebraischen Vielfachheit. Was war das? Das war die Nullstelle,

also die Vielfachheit der Nullstelle im charakteristischen Polynom. Vielfachheit

der Nullstelle im charakteristischen Polynom, das haben wir damals immer pA von lambda genannt,

von lambda i. Sprich, wenn die übereinstimmen, dann wissen wir, ist die Null der Ursprung eine

Lyapunov-stabile Ruhelage. Also nicht das skalare Null, sondern die Null, die auch n liegt, der Vektor,

eine Lyapunov-stabile Ruhelage des dynamischen Systems. Welches dynamisches System, das durch

gerade folgendes Differentialgleichungssystem charakterisiert wird, das durch das, und hier

noch mal in rot, wir sind hier im linearen Fall. Wie sah das aus? Wir betrachten die Differentialgleichung

der Form Zeitableitung von x in der Variable t, sei gleich ganz einfach die Koeffizientenmatrix A

multipliziert an die unbekannte Lösung x von t, und das soll gelten für alle t aus den nicht

negativen realen Zahlen, das durch das lineare DGL-System charakterisiert wird. Naja, und was heißt